ࡱ> M c3bjbj==YWWQ.Nl^ ^ ^ h 0 0 0 d 00002T,3 ![3R.7^7:779p;<lZZZZZZZ$\ _<Z0 /=]9"9/=/=ZAt t 77ZAAA/=Jt 70 7ZA/=ZAAG\Uh 60 ,V73 :o #0y?BU,VtZ0![UXQ_@0Q_,VA t t t t Folha de aprovao Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de conscincia que o criou. preciso ir mais longe. Eu penso 99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho num grande silncio e a verdade me revelada. ALBERT EINSTEIN A meus pais, RENATO ROT H e AURORA FORLIN ROTH. Agradecimentos Agradeo a todas pessoas que me ajudaram a vencer mais esta etapa da vida. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico - CNPq, pelo auxilio financeiro de dois anos de bolsa de mestrado. Tambm gostaria de agradecer Fundao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior - CAPES, pelo auxilio financeiro pelas viagens a congressos nacionais. colega de curso Nanci Naomi Arai, pela aquisio do estilo do LaTeX desenvolvido inicialmente por Marcelo Banik de Padua segundo as normas de publicao do INPE. Ao Laboratrio de Integrao e Testes-LIT pela oportunidade de estudos e utilizao de suas instalaes. Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE pela oportunidade de estudos e utilizao de suas instalaes. Aos professores do INPE pelo conhecimento compartilhado. Aos amigos do laboratrio de Aquisio-LIT, Jeferson Cintra, Michele Guimares e Ubiratan de Freitas pela amizade e companheirismo demontrados. Ao orientador Prof. Dr. Elbert E.N. Macau pelo conhecimento passado, e pela orientao e apoio na realizao deste trabalho. orientadora Prof. Dr. Maisa O. Terra pela orientao, apoio na realizao deste trabalho e principalmente pela pessoa especial que demonstrou ser. Tambm no poderia deixar de agradecer as horas de conversa que tivemos. Aos meus amigos e simpatizantes da Repblica {\em Herois da Resistncia}, Gilberto Ribeiro Queiroz (Mano Gilbert), Marcelo ... ... ... ... ... ... Chaves (MHP), Claudio Correa (skrotinhos), Alessandra Soares (Al) e corintiano Glauco Antonio Santos da Silva (Palmeirense de Corao). Angela Poleto pelo amor e compreenso, mesmo nos tempos de {\em difcil compreenso}. A meus pais por sempre acreditarem na importncia do estudo. Resumo Este trabalho tem por objetivo a construo de um ambiente de estudo e de uma biblioteca para determinao de pontos fixos e peridicos em sistemas dinmicos em evoluo catica. Para tanto, inicialmente so apresentados alguns conceitos bsicos sobre sistemas dinmicos caticos, dando nfase importncia da determinao de pontos fixos e rbitas peridicas peridicas nestes sistemas. Alguns mtodos para determinao de pontos fixos e rbitas peridicas peridicas em sistemas dinmicos caticos representados por mapas, sries temporais e equaes diferenciais so descritos. Foi introduzido um novo mtodo como tambm adaptaes e aprimoramentos em alguns dos mtodos conhecidos. A fim de determinar a eficincia e a aplicabilidade de cada mtodo estudado, anlises e testes so apresentados. Por fim, no captulo de concluso, h anlises comparativas entre os mtodos de determinao de rbitas fixas e peridicas em sistemas caticos, como tambm a descrio de possveis trabalhos futuros a partir dos resultados obtidos. DETERMINATION OF FIXED POINTS AND PERIODIC ORBITS IN CHAOTIC SYSTEMS Abstract The goal of this work is the construction of a computacional environment of study and a library for determination of fixed and periodic points in chaotic dynamical systems. To this end, initially some basic concepts chaotic dynamical systems are presented, giving emphasis to the importance of the determination of fixed and periodic orbits in such systems. Some methods for determination of fixed and periodic orbits in chaotic maps, time series and differencial equations are described. In order to determine the efficiency and applicability of each method, analyses and tests are presented. Finally, in the conclusion, there are comparative analyses among the methods and some suggestions for further research. Sumrio Pg. TOC \o \h \z   HYPERLINK \l "_Toc21606171" Lista de Figuras  PAGEREF _Toc21606171 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc21606172" Lista de Tabelas  PAGEREF _Toc21606172 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc21606173" Lista de Smbolos  PAGEREF _Toc21606173 \h 19  HYPERLINK \l "_Toc21606174" Lista de Siglas e Abreviaturas  PAGEREF _Toc21606174 \h 21  HYPERLINK \l "_Toc21606175" CAPTULO 1 - Introduo  PAGEREF _Toc21606175 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc21606176" 1.1 - Esboo Geral ................................................................................................................. PAGEREF _Toc21606176 \h 25  HYPERLINK \l "_Toc21606177" CAPTULO 2 - Desenvolvimento  PAGEREF _Toc21606177 \h 27  HYPERLINK \l "_Toc21606178" 2.1 - Subttulo A ................................................................................................................. PAGEREF _Toc21606178 \h 27  HYPERLINK \l "_Toc21606179" 2.1.1 - SubSubttulo B  PAGEREF _Toc21606179 \h 27  HYPERLINK \l "_Toc21606180" 2.1.1.1 - SubSubSubtitulo C  PAGEREF _Toc21606180 \h 27  HYPERLINK \l "_Toc21606181" CAPTULO 3 - Concluso  PAGEREF _Toc21606181 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc21606182" Referncias Bibliogrficas  PAGEREF _Toc21606182 \h 31  HYPERLINK \l "_Toc21606183" APndice A - AMBIENTE DE INTEGRAO DAS ROTINAS QUE COMPEM A BIBLIOTECA DE DETERMINAO DE PONTOS FIXOS E RBITAS PERIDICAS  PAGEREF _Toc21606183 \h 33  Lista de Figuras  TOC \h \z \t "Legenda" \c  HYPERLINK \l "_Toc21594146" 1.1 - Dinmicas no mundo real so modeladas por sistemas dinmicos no espao de fase das variveis fsicas.  PAGEREF _Toc21594146 \h 23  Lista de Tabelas  TOC \h \z \c "Tabela"  HYPERLINK \l "_Toc21602923" 2.1 - Tabela de Exemplo.  PAGEREF _Toc21602923 \h 27  Lista de Smbolos (-Conjunto dos nmeros reais(-ndice que mede a variabilidade do rank no algoritmo MCS Lista de Siglas e Abreviaturas SISO-Modelo com uma nica entrada e uma nica sadaSVD-Decomposio em valores singulares Introduo O comportamento catico de sistemas dinmicos no-lineares observado em experimentos e modelos computacionais nos mais diversos campos da cincia. Muitos dados experimentais irregulares, que antes foram atribudos a erros ou rudos, so agora reavaliados para uma explicao em termos de novos conceitos (teoria de sistemas dinmicos) ( REF all96 \h Alligood et al., 1996). A maior parte dos processos naturais (vento, mar e sol) e no-naturais, ou seja, os realizados pelo homem, so sistemas considerados complexos, muito difceis de se prever detalhadamente devido a seu comportamento tpico. Dinmicas no Mundo Real podem ser analisadas atravs de modelos, ( REF _Ref21554292 \h Figura 1.1), processos que contm a introspeco fsica a fim de tentar descrever fenmenos reais. Os modelos resultam em sistemas dinmicos no espao de fase das variveis fsicas ( REF jac89 \h Jackson, 1989)..  FIGURA  STYLEREF 1 \s 1. SEQ Figura \* ARABIC \s 1 1 - Dinmicas no mundo real so modeladas por sistemas dinmicos no espao de fase das variveis fsicas. FONTE: adaptada de  REF jac89 \h Jackson (1989, p. 6). A maior parte dos processos naturais (vem to, mar e sol) e no-naturais, ou seja, os realizados pelo homem, so sistemas considerados complexos, muito difceis de se prever detalhadamente devido a seu comportamento tpico. Dinmicas no Mundo Real podem ser analisadas atravs de modelos, ( REF _Ref21554292 \h Figura 1.1), processos que contm a introspeco fsica a fim de tentar descrever fenmenos reais. Os modelos resultam em sistemas dinmicos no espao de fase das variveis fsicas ( REF jac89 \h Jackson, 1989).. Os tipos de modelos dinmicos mais comuns so: Equaes Diferenciais Ordinrias (ODE); Equaes Diferenciais Parciais (PDE); Equaes a Diferena ou Mapas (DE); Autmato Celular (CA): discreto no tempo, espao e variveis funcionais. Em muitos destes sistemas, o que ocorre a manifestao do caos. A determinao de rbitas peridicas NOTEREF _Ref21598012 \h  \* MERGEFORMAT 1. A rbita peridica ou ciclo repete de maneira exata seu comportamento aps um intervalo fixo de tempo \cite{lor/94}.} As rbitas peridicas instveis revelam o esqueleto do invariante catico, e algum dos parmetros caractersticos de comportamento dinmico dos sistemas, tais como as dimenses, expoentes de Lyapunov e entropia topolgica, podem ser avaliados com base no conjunto de rbitas peridicas instveis que densamente presente neste invariante \cite{aue_eal/87} \cite{cvi/88}. Este trabalho se ocupa da implementao e anlise comparativa dos mtodos mais conhecidos, \cite{aue_eal/87}, \cite{agu_sou/98}, \cite{so_eal/96}, \cite{pre_teu/92}, \cite{sch_dia/98} e \cite{dav_lai/99}, de determinao das rbitas peridicas instveis que se encontram imersas num invariante catico. Alguns destes mtodos exigem o conhecimento do {\bf modelo matemtico do sistema}, enquanto outros usam como dados de entrada um conjunto de sries temporais. Como resultado, chegou-se a uma classificao destes mtodos segundo suas condies particulares em que oferecem o melhor desempenho. Pragmaticamente, este trabalho teve por resultados: uma biblioteca para determinao de rbitas fixas e peridicas; possibilitando a ligao de programas externos biblioteca do ambiente e um prottipo de um Ambiente para Determinao de Pontos Fixos e rbitas Peridicas - UPOS-LABORATORY v1.0 (ver apndice \ref{AMBIENTE}). Esboo Geral Este trabalho foi dividido em mais cinco captulos, descritos a seguir: CAPTULO 2 - SISTEMAS CATICOS: Neste captulo so abordados os fundamentos dos sistemas dinmicos caticos e tambm ser visto a importncia da determinao de pontos fixos e peridicos para a compreenso de sistemas caticos; CAPTULO 3 - MTODOS DE DETERMINAO ANALISADOS: Este captulo contm a descrio de alguns mtodos conhecidos para determinao de pontos fixos e peridicos. CAPTULO 4 - RESULTADOS: Resultados das anlises dos mtodos estudados so apresentados neste captulo. CAPTULO 5 - AMBIENTE DE INTEGRAO DAS ROTINAS QUE COMPEM A BIBLIOTECA DE DETERMINAO DE PONTOS FIXOS E RBITAS PERIDICAS: Neste captulo so apresentadas formas de instalao e utilizao do AMBIENTE PARA DETERMINAO DE PONTOS FIXOS E RBITAS PERIDICAS - UPOS-LABORATORY v1.0. CAPTULO 6 - CONCLUSES: Concluses e perspectivas de trabalhos futuros sobre os mtodos estudados e analisados. Desenvolvimento Subttulo A SubSubttulo B A  REF _Ref21921407 \h Tabela 2.1 TABELA  STYLEREF 1 \s 2. SEQ Tabela \* ARABIC \s 1 1 - Tabela de Exemplo. BCDEValores1234 FONTE: SubSubSubtitulo C Na Eq.  REF Eq1 \h (1):  EMBED Equation.3  (1) Concluso hdjfsgfjdsteste Referncias Bibliogrficas Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. Chaos: an introduction to dynamical systems. New York: Springer Verlag, 1996. 602 p. Jackson, E. A. Perspectives of nonlinear dynamics. Cambridge: Press Syndicate, 1989. 496p. JacksonB, E. A. Perspectives of nonlinear dynamics. Cambridge: Press Syndicate, 1989. 496p. APNDICE A AMBIENTE DE INTEGRAO DAS ROTINAS QUE COMPEM A BIBLIOTECA DE DETERMINAO DE PONTOS FIXOS E RBITAS PERIDICAS  Ponto fixo um ponto no espao de fase que idntico a sua imagem. O ponto EMBED Equation.3  um ponto fixo do mapa  EMBED Equation.3 se e somente se  EMBED Equation.3  PAGE  PAGE 2 PAGE  PAGE 31 PAGE  PAGE 33 (?[oqsr    *+,-=>?XYZ\]^_`a|}ƸƶƙƶjqUj>*B*Uphj{U jUj>*B*Uph0J j0JU mHnHu jUmH sH 6CJ]aJmH sH 6]mH sH 6OJQJ]6]5 !"#$%&'($a$$a$$a$ Q23]3b3 !"#$%&'()*+,-./$a$/0123456789:;<=>?L[opqrs~ $a$uv@ A  C ` z   U V W X Y Y Z [ \ ] ^ e nopqr/  _no45Zjk  !] }~   0123ABLMNghiklmnopq-j>*B*UphjSUj>*B*Uph mHnHuj]Uj>*B*UphjgU jU0J j0JUj>*B*Uph:-./1234567RSTUcdstu9:STUWXYZ[\wxyzj+Uj>*B*Uph;j5Uj>*B*Uphj?Uj>*B*Uph mHnHu0J j0JU jUjIU<    -./0>?HIJcdeghijklmgj Uj U0JmHnHsH j >*B*Uphj Uj >*B*Uph mHnHuj! 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